Würfel-Wahrscheinlichkeit: Tabellen für 1, 2 und 3 Würfel

Bei einem fairen W6 hat jede Zahl die Wahrscheinlichkeit 1/6, das sind rund 16,67 %. Bei zwei Würfeln gibt es 36 gleich wahrscheinliche Kombinationen: Die Summe 7 ist mit 6/36 (16,67 %) am häufigsten, 2 und 12 sind mit je 1/36 (2,78 %) am seltensten, und mindestens eine 6 liegt mit 11/36 (30,56 %) vor. Auf dieser Seite finden Sie die Tabellen für 1, 2 und 3 Würfel, für den W20 mit Vorteil und Nachteil und für Kniffel – jeder Wert ist abgezählt oder nachgerechnet und auf zwei Nachkommastellen gerundet. Wer die Theorie selbst prüfen will, würfelt im Online-Würfel oder im Stochastik-Labor und vergleicht die Häufigkeiten.

Schnellübersicht: die wichtigsten Werte

Alle Werte stehen weiter unten mit Herleitung.

Wahrscheinlichkeit bei einem W6

Ein fairer sechsseitiger Würfel hat sechs gleich wahrscheinliche Seiten. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfeln, beträgt daher 1/6 – also ungefähr 16,67 %. Das gilt für jede der sechs Seiten gleichermaßen. Es spielt dabei keine Rolle, welche Zahl zuletzt gefallen ist: Jeder Wurf ist unabhängig vom vorherigen. Diese Unabhängigkeit der Würfe ist ein häufig missverstandener Punkt – viele glauben, nach fünf Würfen ohne Sechser sei die nächste Sechs „fällig". Das ist der sogenannte Spielerfehlschluss. Tatsächlich bleibt die Chance auf eine Sechs bei jedem Wurf konstant 1/6.

Der Durchschnitt über sehr viele Würfe eines W6 liegt bei 3,5 (der Mittelwert aus 1, 2, 3, 4, 5 und 6). Ein einzelner Wurf kann diesen Wert nie zeigen, auf lange Sicht pendelt sich das Mittel aber dort ein.

Wahrscheinlichkeit selbst berechnen: zwei Regeln reichen

Fast alle Werte auf dieser Seite folgen aus zwei Regeln.

Regel 1: günstige durch mögliche Fälle. Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt: Wahrscheinlichkeit = Anzahl der gewünschten Ergebnisse ÷ Anzahl aller Ergebnisse. Beispiel: Die Augenzahl „gerade“ hat beim W6 drei günstige Seiten (2, 4, 6) von sechs, also 3/6 = 50 %.

Regel 2: Hintereinander multiplizieren. Würfe sind voneinander unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse nacheinander eintreten, ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Beispiel: Zweimal hintereinander eine 6 mit einem W6 ergibt 1/6 × 1/6 = 1/36 (2,78 %); dreimal hintereinander 1/216 (0,46 %).

Der Gegenfall hilft bei „mindestens einmal“. „Mindestens eine 6“ rechnen Sie am einfachsten als 1 minus „keine 6“. Bei zwei Würfeln ist die Chance auf keine 6 gleich 5/6 × 5/6 = 25/36, also ist mindestens eine 6 mit 1 − 25/36 = 11/36 (30,56 %) vorhanden.

Mindestens eine 6 bei mehreren Würfen

Häufig wird gefragt: „Wie wahrscheinlich ist es, bei mehreren Würfen mindestens eine 6 zu würfeln?" Man rechnet dafür den Gegenfall aus. Die Chance, bei einem Wurf keine 6 zu erhalten, ist 5/6. Bei n Würfen ist sie (5/6)ⁿ. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lautet also 1 − (5/6)ⁿ. Dieselbe Rechnung gilt für 1 Würfel in n Würfen und für n Würfel in einem Wurf.

Anzahl Würfe (oder Würfel)	Mindestens eine 6
1	16,67 %
2	30,56 %
3	42,13 %
4	51,77 %
5	59,81 %
6	66,51 %
7	72,09 %
8	76,74 %
9	80,62 %
10	83,85 %

Bei vier Würfen liegt die Chance erstmals über 50 %. Das Beispiel zeigt, warum Sechsen bei „Mensch ärgere dich nicht" zwar oft ausbleiben, aber nie unmöglich sind: Nach drei erfolglosen Versuchen bleibt die Chance für den nächsten Wurf trotzdem bei 1/6. Bei einer Münze entspricht das dem Muster beim Münzwurf.

Zwei W6 – die 36 Kombinationen

Zum direkten Ausprobieren: Zwei Würfel online werfen zeigt beide Einzelwerte, die Summe und den Pasch.

Wirft man zwei W6 gleichzeitig, entstehen 6 × 6 = 36 mögliche Kombinationen. Jede Kombination ist gleich wahrscheinlich. Die möglichen Summen reichen von 2 bis 12, aber sie sind nicht alle gleich häufig. Wer diese Verteilung direkt nachvollziehen möchte, kann auf dem virtuellen Würfel zwei W6 gleichzeitig werfen und die Summen in der Wurf-Historie vergleichen.

Summe	Anzahl Kombinationen	Wahrscheinlichkeit
2	1	2,78 %
3	2	5,56 %
4	3	8,33 %
5	4	11,11 %
6	5	13,89 %
7	6	16,67 %
8	5	13,89 %
9	4	11,11 %
10	3	8,33 %
11	2	5,56 %
12	1	2,78 %

Zwei Würfel: Wie oft fällt eine 6?

Die Frage „Wie wahrscheinlich ist bei zwei Würfeln eine 6?“ hat je nach Formulierung drei Antworten:

Die ersten drei Zeilen („keine“, „genau eine“, „zwei“) ergeben zusammen 36 von 36 (100 %); „mindestens eine“ ist die Summe der beiden letzten.

Ein Pasch (beide Würfel gleich) ist mit 6/36 (16,67 %) genauso häufig wie die Summe 7. Er ist unabhängig von der Zahl: Jede der sechs Zahlen bildet einen Pasch auf genau eine Weise.

Warum ist die 7 die häufigste Summe?

Die Summe 7 kann auf sechs verschiedene Weisen entstehen: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Keine andere Summe hat mehr Kombinationen. Die 2 (nur 1+1) und die 12 (nur 6+6) haben jeweils nur eine einzige Kombination. Das erklärt, warum Spiele wie Craps die 7 in den Mittelpunkt stellen – sie ist die häufigste Summe beim Wurf zweier Würfel. Auch im Chicago-Würfelspiel ist Runde 6 (Zielsumme 7) deshalb die Runde mit der höchsten Trefferchance.

Zwei Würfel: Summe „mindestens“ und „höchstens“

Bei Spielen zählt oft nicht die genaue Summe, sondern ob ein Wert erreicht oder unterschritten wird.

Die Tabelle ist symmetrisch um die 7. Eine 7 oder mehr erreichen Sie mit 21/36 (58,33 %), eine 7 oder weniger ebenfalls. Strikt größer als 7 wird die Summe mit 15/36 (41,67 %), und ebenso oft strikt kleiner. Wie die Summe 7 beim Craps Spiele prägt, zeigt Craps-Grundlagen.

Drei W6 – die Glockenform wird deutlicher

Bei drei W6 gibt es 6 × 6 × 6 = 216 Kombinationen und Summen von 3 bis 18. Je mehr Würfel addiert werden, desto stärker häufen sich die Ergebnisse um die Mitte; die Verteilung nähert sich der bekannten Glockenform (Normalverteilung) an. Rollenspiele nutzen das für Attributswerte: Wer 3W6 würfelt, erhält überwiegend mittlere Werte und nur selten Extreme.

Summe	Anzahl Kombinationen	Wahrscheinlichkeit
3	1	0,46 %
4	3	1,39 %
5	6	2,78 %
6	10	4,63 %
7	15	6,94 %
8	21	9,72 %
9	25	11,57 %
10	27	12,50 %
11	27	12,50 %
12	25	11,57 %
13	21	9,72 %
14	15	6,94 %
15	10	4,63 %
16	6	2,78 %
17	3	1,39 %
18	1	0,46 %

Die Summen 10 und 11 sind mit je 27 von 216 Kombinationen (12,50 %) gleich häufig und die wahrscheinlichsten. Eine Summe von mindestens 11 erreichen Sie bei 3W6 mit genau 50,00 %, mindestens 10 mit 62,50 %. Eine 16 oder höher fällt nur in 4,63 % der Fälle.

Vier Würfel, niedrigsten streichen (Attributswürfe)

Viele Rollenspielrunden würfeln Attributswerte mit vier W6 und streichen den niedrigsten Würfel. Das hebt den Durchschnitt gegenüber 3W6 deutlich an. Es gibt 6⁴ = 1.296 Kombinationen; die Zahlen sind abgezählt:

Der Mittelwert liegt bei rund 12,24 (zum Vergleich: 10,5 bei 3W6). Am häufigsten ist die 13 mit 172 von 1.296 Kombinationen (13,27 %). Wie die Würfel in Rollenspielen zusammenhängen, erklärt D&D-Würfel erklärt.

Wahrscheinlichkeit beim W20

Ein W20 hat 20 gleich wahrscheinliche Seiten, jede mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/20 = 5 %. Das bedeutet: Die Chance, beim ersten Wurf eine 20 zu erzielen, beträgt genau 5 %. Die Chance, mindestens eine 15 (also 15, 16, 17, 18, 19 oder 20) zu würfeln, beträgt 6/20 = 30 %. Jede Stufe der Zielzahl verändert die Chance um genau 5 Prozentpunkte. Mehr zum W20 und zu seinen kritischen Treffern finden Sie auf der Seite W20 würfeln.

Alle Würfeltypen im Vergleich: Chance und Mittelwert

Bei einem fairen Würfel mit n Seiten (1 bis n) hat jede Zahl die Chance 1/n. Der Mittelwert beträgt (n + 1) ÷ 2.

Form, Einsatz und Besonderheiten der Typen stehen unter Würfelarten: W4 bis W100.

W20 mit Vorteil und Nachteil

In der Fünften Edition von Dungeons & Dragons wird bei „Vorteil" mit zwei W20 gewürfelt und der höhere Wert genommen, bei „Nachteil" der niedrigere. Die Rechnung: Ist p die Chance eines einzelnen Wurfs, den Zielwert zu erreichen, gilt bei Vorteil 1 − (1 − p)² und bei Nachteil p². Die Tabelle zeigt, was das für typische Zielwerte bedeutet.

Zielwert	Normaler Wurf	Mit Vorteil	Mit Nachteil
5 oder höher	80,00 %	96,00 %	64,00 %
10 oder höher	55,00 %	79,75 %	30,25 %
11 oder höher	50,00 %	75,00 %	25,00 %
15 oder höher	30,00 %	51,00 %	9,00 %
20 oder höher	5,00 %	9,75 %	0,25 %

Vorteil hilft vor allem bei mittleren Zielwerten: Bei einem Zielwert von 11 steigt die Chance von 50 % auf 75 %, bei Nachteil sinkt sie auf 25 %. Eine natürliche 20 gelingt mit Vorteil in 39 von 400 Fällen (9,75 %). Das Regelwerk dazu erklärt die Seite Vorteil und Nachteil würfeln.

Der Mittelwert eines W20 liegt bei 10,5. Mit Vorteil (höherer von zwei W20) steigt er auf rund 13,83, mit Nachteil (niedrigerer von zwei) sinkt er auf rund 7,18 – abgezählt über alle 400 Kombinationen.

Kniffel: Wahrscheinlichkeiten für einen Wurf mit fünf Würfeln

Beim Kniffel werden fünf W6 gleichzeitig geworfen, das ergibt 6⁵ = 7776 Kombinationen. Die folgende Tabelle gilt für einen einzigen Wurf aller fünf Würfel; da Sie in einem Zug bis zu dreimal würfeln und Würfel beiseitelegen dürfen, sind die tatsächlichen Chancen innerhalb eines Zuges höher.

Figur im ersten Wurf	Günstige Kombinationen	Wahrscheinlichkeit
Kniffel (fünf gleiche Zahlen)	6 von 7776	0,077 %
Viererpasch oder besser (mindestens vier gleiche)	156 von 7776	2,01 %
Dreierpasch oder besser (mindestens drei gleiche)	1656 von 7776	21,30 %
Full House (drei gleiche + zwei gleiche)	300 von 7776	3,86 %
Kleine Straße (mindestens vier aufeinanderfolgende Zahlen)	1200 von 7776	15,43 %
Große Straße (fünf aufeinanderfolgende Zahlen)	240 von 7776	3,09 %

Die Figuren überschneiden sich: Ein Kniffel ist zugleich Viererpasch und Dreierpasch, eine Große Straße enthält eine Kleine Straße. Das Feld „Chance" im Kniffel-Block zählt einfach die Augensumme aller fünf Würfel; der Erwartungswert dafür liegt bei 5 × 3,5 = 17,5. Die vollständigen Spielregeln stehen unter Kniffel Regeln.

Kniffel: Wahrscheinlichkeit in einem Zug (drei Würfe)

Die Tabelle oben gilt für einen einzigen Wurf mit fünf Würfeln. Im Spiel würfeln Sie aber bis zu dreimal und dürfen Würfel beiseitelegen. Die Chance auf fünf gleiche Zahlen im ganzen Zug (also bis zu drei Würfe) liegt bei rund 4,60 %, wenn Sie nach jedem Wurf konsequent die größte Gruppe gleicher Zahlen behalten und nur den Rest neu würfeln. Das entspricht etwa einem Mal in 22 Zügen. Zum Vergleich: Im ersten Wurf allein sind es 0,077 %. Die Differenz entsteht, weil jede der zwei Wiederholungen die Gruppe gleicher Würfel vergrößern kann.

Hinweis zur Rechnung: Der Wert ergibt sich aus dem Durchzählen aller Ausgänge des ersten Wurfs und der zwei folgenden Würfe mit der Strategie „größte Gruppe behalten“. Wer eine andere Strategie fährt, etwa auf eine Straße spielt, kommt auf andere Zahlen. Ein verwandtes Spiel mit fünf Würfeln ist Würfelpoker.

Kniffel oder Große Straße: was ist wahrscheinlicher?

Die Große Straße. Im ersten Wurf mit fünf Würfeln gibt es 240 Kombinationen für eine Große Straße (3,09 %) und nur 6 für einen Kniffel (0,077 %) – die Straße ist also 40-mal so häufig (240 / 6). Über einen ganzen Zug mit drei Würfen und gezieltem Behalten (Werte aus den Kniffel-Regeln) bleibt der Abstand deutlich: rund 26,1 % für die Große Straße gegenüber rund 4,6 % für den Kniffel. Dass der Kniffel dennoch 50 Punkte bringt und die Große Straße 40, liegt an der Wertung der Spielanleitung, nicht an der Wahrscheinlichkeit.

Genau eine, genau zwei Sechsen: die Verteilung bei 2 bis 4 Würfeln

Die Tabelle „mindestens eine 6“ fasst alle Fälle ab einer Sechs zusammen. Wer wissen will, wie oft genau eine, zwei oder drei Sechsen fallen, zählt die Kombinationen: Für genau k Sechsen bei n Würfeln gibt es „n über k“ Möglichkeiten, die Sechsen zu verteilen, und jede der übrigen Stellen darf eine der fünf anderen Zahlen sein. Beispiel bei drei Würfeln und genau zwei Sechsen: 3 Verteilungen × 5 Möglichkeiten für den dritten Würfel = 15 von 216 Kombinationen, also 6,94 %.

Anzahl Sechsen	2 Würfel (36 Kombinationen)	3 Würfel (216)	4 Würfel (1.296)
keine	25/36 (69,44 %)	125/216 (57,87 %)	625/1.296 (48,23 %)
genau eine	10/36 (27,78 %)	75/216 (34,72 %)	500/1.296 (38,58 %)
genau zwei	1/36 (2,78 %)	15/216 (6,94 %)	150/1.296 (11,57 %)
genau drei	–	1/216 (0,46 %)	20/1.296 (1,54 %)
vier	–	–	1/1.296 (0,08 %)

Probe: Jede Spalte ergibt zusammen 100 % (bei vier Würfeln 625 + 500 + 150 + 20 + 1 = 1.296). Das gilt für jede andere Zahl genauso, nicht nur für die 6: Die Wahrscheinlichkeit ist für jede Augenzahl dieselbe.

Pasch: zwei gleiche Würfel

Ein Pasch ist ein Wurf, bei dem beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Von den 36 Kombinationen sind sechs ein Pasch (1+1 bis 6+6), also 6/36 oder 1/6 (16,67 %). Das gilt unabhängig davon, welche Zahl der erste Würfel zeigt: Der zweite muss nur dieselbe Zahl treffen, und das gelingt mit 1/6. Mehrere Pasch-Würfe in Folge multiplizieren sich:

Ereignis	Rechnung	Wahrscheinlichkeit
Pasch im nächsten Wurf	6/36	16,67 %
zweimal hintereinander Pasch	(1/6)²	2,78 %
dreimal hintereinander Pasch	(1/6)³ = 1/216	0,46 %
mindestens ein Pasch in 3 Würfen	1 − (5/6)³	42,13 %
mindestens ein Pasch in 5 Würfen	1 − (5/6)⁵	59,81 %

Die Werte stimmen mit der Tabelle „Mindestens eine 6“ überein, weil der Rechenweg derselbe ist: Es gibt jeweils eine Chance von 1/6 pro Versuch. Spiele, in denen ein Pasch eine Regelwirkung hat, behandeln die Brettspiele mit Würfeln und die Würfelspiele; bei Pasch-Würfen mit anderen Seitenzahlen gilt 1/n statt 1/6 (W20: 5 %).

Digitale Würfel und Gleichverteilung

Unser Online-Würfelgenerator nutzt den Zufallsgenerator Ihres Browsers; auf der Startseite wird dafür die Kryptografie-Schnittstelle des Browsers mit gleichmäßiger Auswahl verwendet, ersatzweise die JavaScript-Funktion Math.random(). Das bedeutet: Jede Seite eines virtuellen W6 hat dieselbe theoretische Wahrscheinlichkeit von 1/6. In der Praxis zeigt sich diese Gleichverteilung erst über sehr viele Würfe. Bei wenigen Würfen können Abweichungen auftreten – das ist nicht auf einen „gefixten" Algorithmus zurückzuführen, sondern ist das normale Verhalten zufälliger Prozesse. Mehr über faire versus manipulierte Würfel erfahren Sie auf den Seiten Fairer Würfel und Gezinkte Würfel. Jetzt einfach selbst ausprobieren: Zum virtuellen Würfel.

Häufige Fragen

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl bei einem Würfel?

Bei einem fairen Würfel mit n Seiten beträgt sie 1/n. Beim W4 sind das 25 %, beim W6 rund 16,67 %, beim W8 12,5 %, beim W10 10 %, beim W12 rund 8,33 % und beim W20 5 %. Die Würfel-Arten im Überblick zeigen, wofür welcher Würfel genutzt wird.

Ist es wahrscheinlicher, eine 6 zu würfeln, wenn sie lange nicht kam?

Nein. Würfe sind voneinander unabhängig, der Würfel „erinnert" sich nicht. Die Chance bleibt bei jedem Wurf 1/6.

Welche Augensumme ist bei zwei Würfeln am wahrscheinlichsten?

Die 7 mit 6 von 36 Kombinationen (16,67 %).

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln mindestens eine 6 zu würfeln?

11/36, also rund 30,56 %. Gerechnet über den Gegenfall: Keine 6 haben Sie mit 5/6 × 5/6 = 25/36, mindestens eine mit 1 − 25/36 = 11/36. Genau eine 6 fällt mit 10/36 (27,78 %), zwei Sechsen mit 1/36 (2,78 %).

Wie viele Kombinationen gibt es bei zwei Würfeln?

36, denn jeder der 6 Werte des ersten Würfels kann mit jedem der 6 Werte des zweiten fallen. Ordnet man die Würfel nicht (1+2 gleich 2+1), sind es 21 verschiedene Ergebnisse, die aber nicht gleich wahrscheinlich sind: Ein Pasch kommt auf eine Weise zustande, alle anderen Paare auf zwei.

Wie wahrscheinlich sind fünf gleiche Zahlen („Kniffel“) in einem Zug?

Im ersten Wurf mit fünf Würfeln 6/7776 (0,077 %). Im ganzen Zug mit bis zu drei Würfen und der Strategie „größte Gruppe behalten“ rund 4,60 %.

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, bei mehreren Würfen mindestens eine 6 zu würfeln?

Mit 1 − (5/6)ⁿ, wobei n die Zahl der Würfe oder Würfel ist. Bei 4 Würfen sind es 51,77 %, bei 10 Würfen 83,85 %.

Ist Kniffel oder Große Straße wahrscheinlicher?

Die Große Straße: 3,09 % gegenüber 0,077 % im ersten Wurf, im ganzen Zug rund 26,1 % gegenüber 4,6 %.

Wie wahrscheinlich ist ein Pasch mit zwei Würfeln?

6 von 36 Kombinationen, also 1/6 oder rund 16,67 %. Zweimal hintereinander sind es 1/36 (2,78 %), dreimal hintereinander 1/216 (0,46 %).

Wie oft fällt bei drei Würfeln genau eine 6?

75 von 216 Kombinationen, rund 34,72 %. Genau zwei Sechsen sind es 15/216 (6,94 %), drei Sechsen 1/216 (0,46 %), keine Sechs 125/216 (57,87 %).

Sind virtuelle Würfel genauso fair wie echte?

Ein guter Zufallsgenerator liefert praktisch gleichverteilte Zahlen; jede Seite hat damit die theoretische Chance 1/n. Bei wenigen Würfen sind Abweichungen normal, so wie bei physischen Würfeln auch. Ob ein echter Würfel fair ist, hängt von Fertigung und Zustand ab.