Stochastik-Labor: Würfeln, zählen, vergleichen

So wird gerechnet

Das Labor geht vom Laplace-Modell aus: Alle Seiten eines Würfels sind gleich wahrscheinlich. Bei einem Würfel mit s Seiten gilt für jede Zahl p = 1/s. Bei zwei Würfeln entstehen s × s gleich wahrscheinliche Kombinationen; die Wahrscheinlichkeit einer Augensumme ist (Anzahl der Kombinationen mit dieser Summe) ÷ s². Die Kombinationen werden im Programm durch schrittweises Aufaddieren (Faltung) ausgezählt.

Der Erwartungswert beträgt E = n·(s+1)/2, die Varianz Var = n·(s²−1)/12, wobei n die Anzahl der Würfel ist. Bei einem W6 sind das E = 3,5 und Var = 35/12 ≈ 2,92, bei zwei W6 E = 7 und Var ≈ 5,83.

Beispielrechnung: Summe 7 mit zwei W6 – es gibt 6 passende Kombinationen (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) von 36, also 6/36 = 16,67 %.

Theorie ohne Skript: Ein W6

Erwartungswert 3,50, Varianz 2,92.

Theorie ohne Skript: Zwei W6 (Summe)

Erwartungswert 7,00, Varianz 5,83.

Typische Denkfehler beim Würfeln

• Spielerfehlschluss: „Nach fünf Würfen ohne Sechs ist sie fällig.“ Falsch – jeder Wurf ist unabhängig, die Chance bleibt 1/6.
• Gesetz der großen Zahlen falsch verstanden: Es sagt, dass sich der Anteil der Wahrscheinlichkeit annähert, nicht dass sich absolute Abweichungen ausgleichen.
• Kleine Stichproben überbewerten: Mit 10 Würfen sind große Ausschläge normal. Erhöhen Sie die Wurfzahl und beobachten Sie, wie die Balken sich der Raute annähern.
• Summen sind nicht gleichverteilt: Bei zwei Würfeln ist die Summe 7 sechsmal so wahrscheinlich wie die 2.

Für Lehrkräfte

Das Labor eignet sich als Einstieg in Zufallsexperimente, relative Häufigkeit und die Idee der stochastischen Simulation. Schlagworte: Zufallsexperiment, relative Häufigkeit, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Gesetz der großen Zahlen, Simulation.

Unterrichtsidee (45 Minuten): (1) Die Klasse schätzt vorab die Verteilung der Augensumme bei zwei W6. (2) Jede Gruppe simuliert 10, 100 und 1.000 Würfe und exportiert die Daten als CSV. (3) In der Tabellenkalkulation entsteht ein Säulendiagramm je Wurfzahl. (4) Gemeinsam wird besprochen, ab wann die Form stabil wirkt. Die Kultusministerkonferenz nennt „Daten und Zufall“ als Leitidee und hebt die Rolle der stochastischen Simulation hervor (siehe Quellen).

Unser Hinweis: Eine Einordnung in den Lehrplan Ihres Bundeslandes liegt bei Ihnen; wir erheben dazu keinen Anspruch.

Quellen und Rechengrundlage

• Rechenweg: Laplace-Modell, Abzählen der Kombinationen, Erwartungswert und Varianz diskreter Gleichverteilungen – eigene Herleitung, anhand der Tabellen oben nachprüfbar (Programmprüfung per Unit-Tests gegen exakte Referenzwerte).
• Fachdidaktischer Hintergrund: Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards für das Fach Mathematik, Erster und Mittlerer Schulabschluss (ESA/MSA), in der Fassung vom 23.06.2022, Leitidee „Daten und Zufall“ (dort: „Die stochastische Simulation spielt bei der Verknüpfung eine wichtige Rolle.“).
• Zufallsquelle: crypto.getRandomValues des Browsers mit Rejection Sampling gegen Modulo-Verzerrung.
• Stand der Seite: Oktober 2026. Orientierung, keine Gewähr.